Consideriamo i punti nel piano  A = (x₁, y₁)       B = (x₂, y₂)      
voglio trovare la loro distanza. il fatto di indicare le coordinate con x₁, y₁, x₂, y₂ significa che in un problema questi dati debbono essere noti Per comodita' supponiamo che entrambe i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano

Da A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH.

Di esso conosco

• AH = x₂- x₁
• BH = y₂- y₁

Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare AB

AB² = AH² + BH²

Sostituendo: AB = √[(x₂- x₁)² + (y₂- y₁)²]

La parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo:

y = ax² + bx + c (con a diverso da 0)

Nel grafico seguente è rappresentata una parabola generica (con asse parallelo all'asse y), e sono evidenziate le sue caratteristiche fondamentali (si veda la tabella riportata poco più sotto).

FORMULARIO:

Concavità e "apertura" della parabola dipendono dal parametro a (come si nota chiaramente dalle due immagini sottostanti)

CASISTICA:

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = ax² + bx + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x: x = ay² + by + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con Vertice V sull'asse delle y: y = ax² + c (con b = 0)

Equazione di una parabola passante per l'Origine: y = ax² + bx (con c = 0)

Equazione di una parabola con Vertice V coincidente con l'Origine: y = ax² (con b = 0 e c = 0)

ESERCIZIO GUIDATO:

Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V(1,2) e passa per il punto A(2,1).

Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = x ² + bx + c

Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate del vertice equivale a due condizioni.

da questo si ricava

sostituendo il valore di b nelle altre due equazioni, si ha:

da cui, infine: a = 1   b = 2  c = 1

Si noti che l'equazione di secondo grado in a, fornisce anche la soluzione a = 0: questa però non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di una parabola non rappresenta una parabola se a = 0.

Pertanto, la parabola cercata ha equazione: y = - x² + 2x + 1

L'angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette giacenti in esso e aventi la stessa origine. L'origine si chiama vertice e le due semirette lati dell'angolo.

E' la parte di piano descritta da una semiretta che ruota attorno alla propria origine. L'origine è il vertice dell'angolo; la posizione iniziale della semiretta e la posizione finale sono i lati dell'angolo. In questo caso l'angolo si dice angolo orientato perché si ottiene per mezzo di una rotazione che può essere compiuta in senso orario, oppure in senso antiorario.

CONCAVO E CONVESSO Consideriamo due semirette aventi la stessa origine e quindi i due angoli che si formano. Notiamo che uno dei due angoli, il maggiore, contiene i prolungamenti dei suoi lati, l'altro, il minore, no. Chiamiamo angolo concavo il primo e angolo convesso il secondo. Si dice angolo concavo quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati. Si dice angolo convesso quello che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.
ACUTO Si dice angolo acuto l'angolo con un'ampiezza minore di 90°
OTTUSO Si dice angolo ottuso l'angolo con un'ampiezza maggiore di 90°
RETTO Si dice angolo retto l'angolo con un'ampiezza di 90°
ANGOLO PIATTO Si dice angolo piatto un'angolo con un'ampiezza pari a 180°.
ANGOLO GIRO Un angolo giro è un angolo che si ottiene con una rotazione di 360°di una semiretta attorno alla sua origine. Esso corrisponde all'intero piano..
ANGOLI CONSECUTIVI Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice,un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune. I due angoli AOB e BOC sono consecutivi.
ANGOLI ADIACENTI Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno come lati non comuni due semirette opposte. I due angoli POQ e QOR sono adiacenti.
ANGOLI COMPLEMENTARI Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto, cioè esso misura 90°. AOB e BOC sono angoli complementari. Infatti la loro somma misura 90°.
ANGOLI SUPPLEMENTARI Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto, cioè se misura 180°. AOB e BOC sono angoli supplementari. Infatti la loro somma misura 180°. Come puoi facilmente constatare dal disegno, due angoli adiacenti sono supplementari.
ANGOLI ESPLEMENTARI Due angoli esplementari se la loro somma è un angolo giro cioè esso misura 360°. L'angolo concavo AOB è l'angolo convesso AOB sono angoli esplementari. Infatti la loro somma misura 360°.
ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro. Osservando la figura vediamo che le due rette formano quattro angoli: AOB, COB, COD, DOA. Caratteristica degli angoli opposti al vertice è quella di essere uguale. Analizzando la figura notiamo infatti che l'angolo COB sommato all'angolo BOA forma un angolo piatto. Lo stesso angolo COB sommato all'angolo DOC forma ancora un angolo piatto. Da ciò risulta: misura di COB + misura di BOA = misura di COB + misura di DOC. Perchè questa uguaglianza sia vera deve essere anche vero che: misura BOA = misura DOC Quindi BOA = DOC di conseguenza anche COB = DOA.

In geometria solida, il parallelepipedo è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi.
Quando gli angoli sono retti, formando un rettangolo per ogni faccia, si parla di parallelepipedo rettangolo.

Un parallelepipedo può essere definito alternativamente come un prisma la cui base è un parallelogramma.

DEFINIZIONI:

• Un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati
• Un cubo è un parallelepipedo regolare
  
• Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli

FORMULE:

Area base: A_B = Area del poligono di base = a · b [cm²]

Area laterale: A_{L =} 2P · h = 2 · (a + b) · c [cm²]

Area totoale: A_T = 2 · A_{B +} A_L [cm²]

Volume: V = A_B · h = a · b · c [cm³]

SVILUPPO DEL SOLIDO: