ARITMETICA

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREADDIZIONE:

5 + 3 = 8     Addendo + Addendo = Somma o Totale

PROPRIETA' COMMUTATIVA:

scambiando l’ordine degli fattori il risultato non cambia

5 X 3 = 15

3 X 5 = 15

PROPRIETA' ASSOCIATIVA:

se al posto di alcuni addendi si sostituisce la loro somma il risultato non cambia.

5 + 3 + 2 = 10

5 + 5 = 10

PROPRIETA' DISSOCIATIVA:

se a uno o più addendi se ne sostituiscono altri la cui somma è uguale all’addendo sostituito il risultato non cambia

7 + 5 = 12

5 + 2 + 4 + 1 = 12
ELEMENTO NEUTRO: 0 6 + 0 = 6


MOLTIPLICAZIONE:

4 X 3 = 12     Fattore X Fattore = Prodotto

PROPRIETA' COMMUTATIVA:

scambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia

5 + 3 = 8

3 + 5 = 8

PROPRIETA' ASSOCIATIVA:

se al posto di alcuni fattori si sostituisce il loro prodotto il risultato non cambia

5 X 3 X 2 X 2 = 10

15 X 4 = 32

PROPRIETA' DISSOCIATIVA:

se a uno o più fattori se ne sostituiscono altri il cui prodotto è uguale al fattore sostituito il risultato non cambia

25 X 4 = 100

5 X 5 X 2 X 2 = 100

PROPRIETA' DISTRIBUTIVA:

scomponendo un fattore, si può moltiplicare l’altro fattore per ciascun termine dell’addizione ( o sottrazione) ed addizionare poi i prodotti parziali ottenuti

6 X 12 = 84

6 X (10 + 2) = 84

(6 X 10) + (6 X 2) = 84
ELEMENTO NEUTRO: 1
 6 X 1 = 6


SOTTRAZIONE:

5 - 3 = 2     Minuendo - Sottraendo = Resto o Differenza

PROPRIETA' INVARIANTIVA:

la differenza tra due numeri non cambia se ad entrambi si addiziona o si sottrae lo stesso numero

145 - 15 = 130

(145 - 5) - (15 - 5) = 130

140 - 10 = 130
ELEMENTO NEUTRO: 0 6 - 0 = 6


DIVISIONE:

100 : 22 = 4 (2)     Dividendo : Divisore = Quoziente (Resto)

PROPRIETA' INVARIANTIVA:

il quoziente fra due numeri non cambia se entrambi si dividono o si moltiplicano per uno stesso numero, diverso da zero

200 : 50 = 4

(200:10) : (50:10) = 4

20 : 4 = 4

PROPRIETA' DISTRIBUTIVA:

scomponendo il dividendo si può dividere ciascun terminedella somma (o della differenza) per il divisore e poi sommare (o sottrarre) i quozienti ottenuti

100 : 5 = 20

(100 + 5) : 5

(100:5) + (5:5) = 20+1 = 21
ELEMENTO NEUTRO: 1
 6 : 1 = 6
ARITMETICA

Nella matematica di base si definisce radice quadrata di un numero razionale positivo z un numero x, anch'esso positivo, che soddisfa l'equazione x2 = z.

La determinazione della radice quadrata, o come spesso si dice, l' estrazione della radice quadrata, consente di risolvere il problema di geometria piana della determinazione della lunghezza del lato (x) di un quadrato di data area (z).

Quando si sono definiti i numeri reali si può definire radice quadrata principale di un numero reale non negativo z ogni numero reale non negativo x tale che x2 = z, il numero risultante si indica con con la scrittura x = √z

I quadrati perfetti, ammettono per radice quadrata principale un numero intero. Sono quadrati perfetti ad esempio, 4 che ha per radice il numero 2, e 25 che ha per radice 5; viceversa molti altri interi positivi, a cominciare da 2 e 3, non ammettono una radice intera.

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ARITMETICA

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREDati due o più numeri a, b, ... è detto minimo comune multiplo il minore dei multipli comuni di essi.

RICERCA DEL MINIMO COMUNE MULTIPLO con la SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI:

Il mcm di più numeri dati è il prodotto dei fattori primi ad essi comuni e non comuni, ognuno preso con il massimo esponente che gli compete.

40 = 23 x 5
48 = 24 x 3

mcm (40, 48) = 24 x 3 x 5 = 240

Se 240 è mcm tra 40 e 48 allora:

240 / 40 = (24 x 3 x 5) : (23 x 5) = 24-3 x 3 x 51-1 = 2 x 3 = 6
240 / 48 = (24 x 3 x 5) : (24 x 3) = 24-4 x 31-1 x 5 = 5

ARITMETICA

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREDati due o più numeri a, b, ... è detto massimo comun divisore il maggiore fra i divisori comuni di essi.

PROPRIETA':

  • Se il MCD di due o più numeri è l’unità, questi sono detti coprimi o primi fra loro
  • Il MCD tra due numeri di cui uno solo è zero esiste.
    • Se a=0 e b=0 non è possibile calcolare MCD(a,b).
    • Se a è diverso da zero e b=0 MCD(a, b) = a.
    • Se a=0 e b è diverso da zero MCD(a, b) = b.

RICERCA DEL MASSIMO COMUN DIVISORE con la SCOMPOSIZIONE IN FATTORI PRIMI

Il MCD di più numeri dati è il prodotto dei fattori primi ad essi comuni, ognuno preso con il minimo esponente che gli compete.
Questo metodo è utilizzabile, nella pratica, solo per numeri piccoli.

La scomposizione in fattori primi di un numero richiede, infatti, troppo tempo.

56 = 23 x 7

140 = 22 x 5 x 7

MCD (56,140) = 22 x 7 = 28

Se 28 è MCD tra 56 e 140 allora

56 / 28 = (23 x 7) : (22 x 7) = 23-2 x 71-1 = 2

140 / 28 = (22 x 5 x 7) : (22 x 7) = 22-2 x 5 x 71-1 = 5

15 = 3 x 5

16 = 24

MCD (15,16) = 1 numeri primi fra loro!

ARITMETICA

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREI criteri di divisibilità vengono utilizzati per stabilire se un numero n è divisibile per un altro numero m senza eseguire la divisione.

  • per 2: un numero è divisibile per 2 se termina con zero o una cifra pari
  • per 3: un numero è divisibile per 3 se la somma delle sue cifre è 3 o un multiplo di 3
  • per 4: un numero è divisibile per 4 se le ultime due cifre sono 00 oppure formano un numero multiplo di 4
  • per 5: un numero è divisibile per 5 se la sua ultima cifra è 0 o 5
  • per 6: un numero è divisibile per 6 se è contemporaneamente divisibile per 2 e per 3
  • per 7: un numero con più di due cifre è divisibile per 7 se la differenza del numero ottenuto escludendo la cifra delle unità e il doppio della cifra delle unità è 0, 7 o un multiplo di 7.

    es. 95676 è divisibile per 7 se lo è il numero 9567-2*6=9555; questo è divisibile per 7 se lo è il numero 955-2*5=945; questo è divisibile per 7 se lo è 94-2*5=84 che è divisibile per 7 dunque lo è anche il numero 95676.
  • per 8: un numero è divisibile per 8 se termina con tre zeri o se è divisibile per 8 il numero formato dalle sue ultime 3 cifre
  • per 9: un numero è divisibile per 9 se la somma delle sue cifre è 9 o un multiplo di 9
  • per 10: un numero è divisibile per 10 se la sua ultima cifra è 0
  • per 11: un numero è divisibile per 11 se la differenza (presa in valore assoluto), fra la somma delle cifre di posto pari e la somma delle cifre di posto dispari, è 0, 11 o un multiplo di 11

    es. 625834 è divisibile per 11 in quanto (2+8+4)-(6+5+3)=14-14=0
  • per 12: un numero è divisibile per 12 se è contemporaneamente divisibile per 3 e per 4
  • per 13: un numero con più di due cifre è divisibile per 13 se la somma del quadruplo della cifra delle unità con il numero formato dalle rimanenti cifre è 0, 13 o un multiplo di 13

    es. 7306 è divisibile per 13 se lo è il numero 730+4*6=754; questo è divisibile per 13 in quanto 75+4*4=91 è multiplo di 13 (13*7=91)
  • per 17: un numero con più di due cifre è divisibile per 17 se la differenza (presa in valore assoluto), fra il numero ottenuto eliminando la cifra delle unità e il quintuplo della cifra delle unità è 0, 17 o un multiplo di 17

     es. 2584 è divisibile per 17 se lo è il numero 258-5*4=238; questo è divisibile per 17 se lo è il numero 23-5*8=17
  • per 25: un numero è divisibile per 25 se il numero formato dalle ultime 2 cifre è divisibile per 25, cioè 00, 25, 50, 75
  • per 100: un numero è divisibile per 100 se le ultime due cifre sono 00

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