GEOMETRIA

EQUAZIONE DELLA RETTA:

y = mx + q oppure x = my + q

dove m si chiama coefficiente angolare (pendenza della retta) mentre il termine noto q rappresenta l'ordinata del punto di intersezione della retta con l'asse delle y.

PROPRIETA:

  • Per un punto si possono tracciare un infinito numero di rette.
  • Per due punti passa una e una sola retta
  • Una retta con ordinata all'origine uguale a 0 (q=0) è una retta passante per l'Origine 0(0;0)
  • Due rette incidenti in un punto generano angoli opposti uguali.
  • Nello spazio, per una retta passano infiniti piani.

DUE RETTE NEL PIANO

  • incidenti se si intersecano (in uno e un solo punto)
  • parallele se sono complanari ma non si intersecano, mantengono sempre la stessa distanza tra di loro [rette con m1 = m2]
  • perpendicolari quando le due rette, incontrandosi in un unico punto, formano quattro angoli retti (di 90°)[rette con m1 = -1/m2]

DUE RETTE NELLO SPAZIO

  • complanari se esiste un piano che le contiene entrambe. In questo caso, sono incidenti se si intersecano e parallele altrimenti;
  • sghembe se non sono contenute in un piano comune;
  • perpendicolari quando le due rette, incontrandosi in un unico punto, formano quattro angoli retti (di 90°) 

LA SEMIRETTA:
Data una retta orientata e fissato un punto P(origine semiretta), si chiama semiretta l’insieme formato dal punto P e da tutti quelli che lo seguono, oppure che lo precedono.
La semiretta è una linea ricavata dividendo una retta in due parti.

ESERCIZIO GUIDA:

Data la retta di equazione r: y = 3x + 2 disegnare nel piano la retta, scrivere e disegnare una retta s parallela alla data e una t perpendicolare.

SOLUZIONE:

Per disegnare la retta r, bisogna completare la tabella andando a trovare i punti A, B e C.

X Y
0 2 A(0;2)
1 5 B(1;5)
2 8 C(2;8)

ESERCIZIARIO MASSERE - TEORIA RETTEOra scrivo l'equzione della retta s (PARALLELA) e t (PERPENDICOLARE)

s: y = 3x - 1  --> Si nota che il coef. angolare è uguale a quello della retta data.

t: y = -1/3 x + 2 --> Si nota che il nuovo coef. angolare rispetta il vincolo m1 = -1/m2

Ora per disegnare sia la retta s che la retta t, devo compilare le tabelle:

X Y
0 -1 D(0;-1)
1 2 E(1;2)
2 5 F(2;5)
X Y
0 2 A(0;2  )
3 1 G(3;1)
6 0 H(6;0)
GEOMETRIA

ESERCIZIARIO MASSERE - Cubo AnimatoIn geometria il cubo è un solido  che presenta 6 facce quadrate, 8 vertici e 12 spigoli; in ogni vertice si incontrano tre spigoli i quali sono ortogonali due a due; in ogni vertice si intersecano anche tre facce le quali sono a due a due ortogonali, presenta 8 facce triangolari, 6 vertici e 12 spigoli.

Ogni cubo è caratterizzato dalla lunghezza l dei suoi spigoli. Tutti i cubi con gli spigoli della stessa lunghezza sono congruenti.

FORMULE:

Area Base: AB = lato · lato = l2 [cm2]

Area Laterale: AL = 4 · AB = 4·l2 [cm2]

Area Totale: AT = AL+ 2 · AB = 6 · AB = 6 · l2 [cm2]

Volume: lato · lato · lato = l3 [cm3]
    
    
SVILUPPO DEL CUBO:

ESERCIZIARIO MASSERE - Sviluppo del cubo

GEOMETRIA

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSERESono tutti quei solidi ottenuti dalla rotazione di una figura piana intorno ad una retta (asse di rotazione).

CILINDRO:

ESERCIZIARIO MASSERE - Solidi di rotazione - cilindroIl cilindro è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un rettangolo intorno ad un suo lato.

Cilindro equilatero: È un cilindro in cui l’altezza è lunga quanto il diametro della base.

L’area della superficie base di un cilindro si ottiene facendo: AB = πr2

L’area della superficie laterale di un cilindro si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’altezza: AL = 2πr · h

L’area della superficie totale di un cilindro si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: AT = AL + 2AB

Il volume di un cilindro si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza: V = AB · h = πr2 · h

CONO:

ESERCIZIARIO MASSERE - Solidi di rotazione - conoIl cono è un solido ottenuto dalla rotazione di un triangolo intorno ad un suo cateto.

Cono equilatero: È un cono in cui l’apotema è lungo quanto il diametro della base.

L’area della superficie base di un cilindro si ottiene facendo: AB = πr2

L’area della superficie laterale di un cono si ottiene moltiplicando la lunghezza della circonferenza di base per la misura dell’apotema (a, nella figura = l) e dividendo tale prodotto per due: AL = 2πr · a

L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area della base: AT = AL + AB

Proprietà. Il cono è equivalente a un terzo di un cilindro avente base ed altezza congruenti rispettivamente alla base e all’altezza del cono.

Il volume di un cono si ottiene moltiplicando l’area di base per la misura dell’altezza e dividendo tale prodotto per tre: V = (AB · h)/3 = (πr2 · h)/3

SFERA:

ESERCIZIARIO MASSERE - Solidi di rotazione - sferaLa sfera è un solido ottenuto dalla rotazione completa di un semicerchio attorno al proprio diametro, il raggio e il centro del semicerchio sono il raggio e il centro della sfera.

La superficie sferica è l’insieme di tutti e solo i punti dello spazio che hanno la stessa distanza da un punto interno detto centro.

Proprietà. La superficie sferica è equivalente alla superficie laterale del cilindro equilatero circoscritto ad essa.

L’area della superficie sferica si ottiene moltiplicando per quattro l’area del suo cerchio massimo: A = 4πr2

Proprietà. Una sfera è equivalente a un cono avente per altezza il raggio della sfera e per raggio di base il diametro della sfera.

Il volume della sfera si ottiene moltiplicando per il cubo del suo raggio: V = 4/3 πr3

TRONCO DI CONO:

ESERCIZIARIO MASSERE - Solidi di rotazione - Tronco di conoConsideriamo un cono e tagliamolo con un piano parallelo al piano della base: otteniamo due figure, una è ancora un cono, l’altra è un tronco di cono.

Il tronco di cono è un solido attenuto dalla rotazione di un trapezio rettangolo attorno al lato perpendicolare alle basi.

Proprietà. La superficie laterale di un tronco di cono è equivalente a un trapezio avente per basi le due circonferenze di base del tronco e per altezza il suo apotema.

L’area della superficie laterale di un tronco di cono si ottiene moltiplicando la somma delle misure delle lunghezze delle due circonferenze di base per la misura dell’apotema e dividendo tale prodotto per due: AL = π(r1 + r2) · a

L’area della superficie totale di un cono si ottiene sommando la superficie laterale e l’area delle due basi: AT = AL + AB1 + AB2

Proprietà. Per il principio di Cavalieri, un tronco di cono e un tronco di piramide aventi basi equivalenti e altezze congruenti sono equivalenti.

Il volume di un cono si ottiene moltiplicando la misura dell’altezza per la somma dell'area di base con l'area del tronco e con la radice quadrata del loro prodotto, e dividendo tale prodotto per tre: [(AB1 + AB2) + SQRTAB1 + AB2]· h/3

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