La Parabola

PDF - parabola - ESERCIZIARIO MASSERELa parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo:

y = ax2 + bx + c (con a diverso da 0)

Nel grafico seguente è rappresentata una parabola generica (con asse parallelo all'asse y), e sono evidenziate le sue caratteristiche fondamentali (si veda la tabella riportata poco più sotto).

FORMULARIO:

Formulario Parabola

Concavità e "apertura" della parabola dipendono dal parametro a (come si nota chiaramente dalle due immagini sottostanti)

Parabola con concavità verso l'altoParabola con concavità verso il basso

CASISTICA:

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = ax2 + bx + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x: x = ay2 + by + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con Vertice V sull'asse delle y: y = ax2 + c (con b = 0)

Equazione di una parabola passante per l'Origine: y = ax2 + bx (con c = 0)

Equazione di una parabola con Vertice V coincidente con l'Origine: y = ax2 (con b = 0 e c = 0)


ESERCIZIO GUIDATO:

Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V(1,2) e passa per il punto A(2,1).

Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = x
2 + bx + c

Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate del vertice equivale a due condizioni.

da questo si ricava

sostituendo il valore di b nelle altre due equazioni, si ha:

da cui, infine: a = 1   b = 2  c = 1

Si noti che l'equazione di secondo grado in a, fornisce anche la soluzione a = 0: questa però non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di una parabola non rappresenta una parabola se a = 0.

Pertanto, la parabola cercata ha equazione: y = - x2 + 2x + 1

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