Data una retta r ed un punto P non appartenente ad essa, si chiama distanza del punto P dalla retta r il segmento di perpendicalare condotto dal punto P alla retta r.

ESERCIZIARIO MASSERE - Distanzo Punto RettaSia P ( x0 , y0 ) e sia r la retta di equazione implicita ax + by + c = 0.
Indico con H il piede della perpendicolare condotta da P ad r.

La distanza PH = d è data dalla seguente formul:

ESERCIZIARIO MASSERE - Distanzo Punto Retta

 

 


Esempio 1

Calcolare la distanza tra il punto A(-1;0) e la retta di equazione y = -3x + 2
L'equazione è scritta in forma esplicita.
E' necessario riscriverla in forma implicita: 3x + y -2 = 0.
Sostituendo i dati nella formula
x0 = -1 ,  y0 = 0 ,   a = 3 ,   b = 1 ,  c = -2 si ottiene

ESERCIZIARIO MASSERE - Distanzo Punto Retta

 

 

 

Esempio 2

Calcolare la distanza tra il punto A(-3;5) e la retta di equazione 2x - y + 4 = 0
L'equazione è scritta in forma implicita; basta sostituire i dati nella formula:

ESERCIZIARIO MASSERE - Distanzo Punto Retta


Distanza tra due puntiPDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREConsideriamo i punti nel piano  A = (x1, y1)       B = (x2, y2)      
voglio trovare la loro distanza. il fatto di indicare le coordinate con x1, y1, x2, y2 significa che in un problema questi dati debbono essere noti Per comodita' supponiamo che entrambe i punti si trovino nel primo quadrante, la formula che otterremo sara' comunque valida in tutto il piano

Da A e B traccio le coordinate e considero il triangolo rettangolo ABH.

Di esso conosco

  • AH = x2- x1
  • BH = y2- y1

Utilizzando il Teorema di Pitagora posso trovare AB

AB2 = AH2 + BH2

Sostituendo: AB = [(x2- x1)2 + (y2- y1)2]

 


PDF - parabola - ESERCIZIARIO MASSERELa parabola è il luogo geometrico dei punti equidistanti da una retta (direttrice) e da un punto (fuoco).
La retta passante per il fuoco e perpendicolare alla direttrice si chiama asse della parabola.
L'asse della parabola è un asse di simmetria e interseca la parabola nel vertice.
Una parabola con asse parallelo all'asse y è rappresentata da un'equazione del tipo:

y = ax2 + bx + c (con a diverso da 0)

Nel grafico seguente è rappresentata una parabola generica (con asse parallelo all'asse y), e sono evidenziate le sue caratteristiche fondamentali (si veda la tabella riportata poco più sotto).

FORMULARIO:

Formulario Parabola

Concavità e "apertura" della parabola dipendono dal parametro a (come si nota chiaramente dalle due immagini sottostanti)

Parabola con concavità verso l'altoParabola con concavità verso il basso

CASISTICA:

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = ax2 + bx + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con asse parallelo all'asse x: x = ay2 + by + c (con a diverso da 0)

Equazione di una parabola con Vertice V sull'asse delle y: y = ax2 + c (con b = 0)

Equazione di una parabola passante per l'Origine: y = ax2 + bx (con c = 0)

Equazione di una parabola con Vertice V coincidente con l'Origine: y = ax2 (con b = 0 e c = 0)


ESERCIZIO GUIDATO:

Scrivere l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse y che ha vertice in V(1,2) e passa per il punto A(2,1).

Si considera l'equazione generale di una parabola con asse parallelo all'asse y: y = x
2 + bx + c

Si impongono le condizioni date. Si noti che la conoscenza delle coordinate del vertice equivale a due condizioni.

da questo si ricava

sostituendo il valore di b nelle altre due equazioni, si ha:

da cui, infine: a = 1   b = 2  c = 1

Si noti che l'equazione di secondo grado in a, fornisce anche la soluzione a = 0: questa però non è accettabile, dal momento che l'equazione generale di una parabola non rappresenta una parabola se a = 0.

Pertanto, la parabola cercata ha equazione: y = - x2 + 2x + 1

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREL'angolo è ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette giacenti in esso e aventi la stessa origine. L'origine si chiama vertice e le due semirette lati dell'angolo.

E' la parte di piano descritta da una semiretta che ruota attorno alla propria origine. L'origine è il vertice dell'angolo; la posizione iniziale della semiretta e la posizione finale sono i lati dell'angolo. In questo caso l'angolo si dice angolo orientato perché si ottiene per mezzo di una rotazione che può essere compiuta in senso orario, oppure in senso antiorario.

CONCAVO E CONVESSO

Consideriamo due semirette aventi la stessa origine e quindi i due angoli che si formano. Notiamo che uno dei due angoli, il maggiore, contiene i prolungamenti dei suoi lati, l'altro, il minore, no.
Chiamiamo angolo concavo il primo e angolo convesso il secondo.

  • Si dice angolo concavo quello che contiene i prolungamenti dei suoi lati.
  • Si dice angolo convesso quello che non contiene i prolungamenti dei suoi lati.

ACUTO

  • Si dice angolo acuto l'angolo con un'ampiezza minore di 90°

OTTUSO

  • Si dice angolo ottuso l'angolo con un'ampiezza maggiore di 90°

RETTO

  • Si dice angolo retto l'angolo con un'ampiezza di 90°

ANGOLO PIATTO

Si dice angolo piatto un'angolo con un'ampiezza pari a 180°.

ANGOLO GIRO

Un angolo giro è un angolo che si ottiene con una rotazione di 360°di una semiretta attorno alla sua origine. Esso corrisponde all'intero piano..

ANGOLI CONSECUTIVI

Due angoli si dicono consecutivi se hanno lo stesso vertice,un lato in comune e gli altri due lati situati da parte opposta rispetto al lato comune.

I due angoli AOB e BOC sono consecutivi.

ANGOLI ADIACENTI

Due angoli si dicono adiacenti se, oltre ad essere consecutivi, hanno come lati non comuni due semirette opposte.

I due angoli POQ e QOR sono adiacenti.

ANGOLI COMPLEMENTARI

Due angoli si dicono complementari se la loro somma è un angolo retto, cioè esso misura 90°.

AOB e BOC sono angoli complementari.

Infatti la loro somma misura 90°.

ANGOLI SUPPLEMENTARI

Due angoli si dicono supplementari se la loro somma è un angolo piatto, cioè se misura 180°.

AOB e BOC sono angoli supplementari.

Infatti la loro somma misura 180°.

Come puoi facilmente constatare dal disegno, due angoli adiacenti sono supplementari.

ANGOLI ESPLEMENTARI

Due angoli esplementari se la loro somma è un angolo giro cioè esso misura 360°.

L'angolo concavo AOB è l'angolo convesso AOB sono angoli esplementari.

Infatti la loro somma misura 360°.

ANGOLI OPPOSTI AL VERTICE

Due angoli si dicono opposti al vertice se i lati dell'uno sono i prolungamenti dei lati dell'altro.

Osservando la figura vediamo che le due rette formano quattro angoli: AOB, COB, COD, DOA. Caratteristica degli angoli opposti al vertice è quella di essere uguale.

Analizzando la figura notiamo infatti che l'angolo COB sommato all'angolo BOA forma un angolo piatto. Lo stesso angolo COB sommato all'angolo DOC forma ancora un angolo piatto. Da ciò risulta:

misura di COB + misura di BOA = misura di COB + misura di DOC.

Perchè questa uguaglianza sia vera deve essere anche vero che:

misura BOA = misura DOC
Quindi BOA = DOC di conseguenza anche COB = DOA.

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREIn geometria solida, il parallelepipedo è un poliedro le cui facce sono 6 parallelogrammi.
Quando gli angoli sono retti, formando un rettangolo per ogni faccia, si parla di parallelepipedo rettangolo.

Parallelepipedo - Eserciziario MassereUn parallelepipedo può essere definito alternativamente come un prisma la cui base è un parallelogramma.

DEFINIZIONI:

  • Un cubo è un parallelepipedo le cui facce sono quadrati
  • Un cubo è un parallelepipedo regolare
  • Un parallelepipedo rettangolo è un parallelepipedo le cui facce sono tutte rettangoli

Parallelepipedo - Eserciziario MassereFORMULE:

Area base: AB = Area del poligono di base = a · b [cm2]

Area laterale: AL = 2P · h = 2 · (a + b) · c [cm2]

Area totoale: AT = 2 · AB + AL [cm2]

Volume: V = AB · h = a · b · c [cm3]

SVILUPPO DEL SOLIDO:

Sviluppo Parallelepipedo - Eserciziario Massere

25 Maggio 2020
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27 Aprile 2020