PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREDEFINIZIONE DISEQUAZIONE: è una disuguaglianza fra due espressioni, di cui almeno una letterale, verificata per particolari valori dell’incognita o alle incognite.
I termini numeri presenti in una disequazione prendono il nome di termini noti.

DEFINIZIONE DISUGUAGLIANZA: Due espressioni numeriche che hanno valore diverso e sono separate da un segno di disuguaglianza, formano una disuguaglianza numerica.

I simboli delle disuguaglianze sono:

  • < maggiore
  • > minore
  • ≥ maggiore o uguale
  • ≤ minore o uguale
  • ≠ diverso (molto usato anche il simbolo <>)

GRADO DELLA DISEQUZIONE: è il grado massimo dell'incognita presente

DISEQUZIONI EQUIVALENTI: se hanno lo stesso risultato

Come nelle equzioni anche nelle disequzioni esistono 3 tipologie: Determinata, Indeterminata, Impossibile

  • Indeterminata: quando non è possibile stabilire un solo intervallo di soluzioni.

es. ax > b con a = 0 e b<0 (0x>-4)  avremo 0x>b ovvero 0>b e lo zero è sempre maggiore di qualsiasi numero negativo

es. ax < b con a = 0 e b>0 (0x<4)   avremo 0x<b ovvero 0<b e lo zero è sempre minore di qualsiasi numero positivo

  • Impossibile: quando non è possibile stabilire un intervallo di soluzioni.

es. ax > b con a = 0 e b>0 (0x>4) qualsiasi valore sostituisco alla x, otterrò 0 a primo membro e quindi non mi verificherà a disequazione

es. ax < b con a = 0 e b<0 (0x<-4) qualsiasi valore sostituisco alla x, otterrò 0 a primo membro e quindi non mi verificherà a disequazione

PRIMO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:

Addizionando o sottraendo ai due membri di una disequazione la stessa quantità algebrica si ottiene una disequazione equivalente a quella data.

2x > - x - 3
2x + x > - 3
3x > -3
x > - 1

SECONDO PRINCIPIO DI EQUIVALENZA:

Moltiplicando o dividendo entrambi i membri di una disequazione la stessa quantità algebrica positiva si ottiene una disequazione equivalente a quella data.
Se si moltiplica o divide per un numero negativo si ottiene una disequazione equivalente ma di segno opposto.

es. 2x > 4
2x/2 > 4/2
x > 2


es. - 4x > 12
- 4x / -4 > 12 / -4
x < -3

PDF - minimo comune multiplo - ESERCIZIARIO MASSEREUn POLINOMIO e' un insieme di piu' monomi (dal greco più termini).
Vengono classificati per il numero di termini irriducibili (cioè monomi non simili)

  • 4a4+2b e' un binomio
  • a+4 e' un binomio
  • 3a6+4b+c e' un trinomio
  • 3a+2b+5a e' un binomio perche'3a+5a=8a e i termini diventano 2
  • 2a4+8b+9a - 6 e' un quadrinomio

Oltre 4 termini piuttosto che parlare di quinquinomio, esanomio,... si preferisce dire polinomio di 5 termini, di 6 termini,ecc ecc

GRADO DEL POLINOMIO: il grado di un polinomio e' uguale al grado del suo monomio di grado piu' alto

es. 2a3 + 3a3b4 - 4f2g4h4 - 2xz3w

2a3 ha grado 3
3a3b4 ha grado 7
- 4f2g4h4 ha grado 10
- 2xz3w  ha grado 5

Quindi il Polinomio ha grado 10 in quanto è il maggiore tra i monomi che lo compongono.

POLINOMIO ORDINATO secondo una lettera: è un polinomio nel quale compaiono i monomi in ordine di grado.

es. 3b + 2b2 - 4b4c + b5de è un POLINOMIO ordinato rispetto la lettera b.

POLINOMIO COMPLETO: è un polinomio che e' ordinato e in cui vi siano tutti i termini tra il grado maggiore e 0.

es. 2 + 3b + 2b2 - 4b3 + b4 è un POLINOMIO completo

es. 3b + 2b2 - 4b3 + b4 NON è un POLINOMIO completo in quanto manca il termine di grado 0.

Cubo del binomio: e' uguale al cubo del primo monomio piu'il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu' il cubo del secondo

(a+b)3=(a+b)·(a+b)·(a+b)=
ora so che (a+b)·(a+b)=a2+2ab+b2 quindi dovro' fare
=(a2+2ab+b2)·(a+b)= a3 +a2 b+2a2 b+2ab2 +ab2 +b3= a3 +3a2 b+3ab2 +b3

Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola:

(a+b)3 =a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3

GUARDA LA VIDEOGUIDA:

{qtube vid:=f5BEFtkx-xs}

Il monomio è il prodotto  di quanti si vogliano fattori numerici e letterali.
Attenzione: gli esponenti dei fattori letterali devono appartenere a N {0, 1, 2, 3, ...}.

Forma normale: ogni monomio può essere scritto come prodotto di una solo fattore numerico e di fattori letterali di basi diverse.

  • (-2)(a)(-5)(b2) = (-2)(-5)(a)(b2) = +10ab2
  • 4(b)(7) = 4(7)(b) = 28b
  • (2/5)(a2)(-b2)(1/3)(b) = (2/5)(-1)(1/3)(a2)(b2)(b) = -(2/15)a2b3

Il monomio è composto da: il fattore numerico con il proprio segno (coefficiente) e il prodotto dei rimanenti fattori (parte letterale)


CONVENZIONI:

  • se il coefficiente è +1 si omette e si scrive solo la parte letterale (Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0)

    es. +1x2y = x2y        es. +1x0y0 = +1

  • se il coefficiente è -1 si scrive solo la parte letterale preceduta dal segno meno (Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0)

    es. -1a
    2b2 = -a2b2 es. -1a0b0 = -1

  • se il coefficiente è 0 il valore del monomio è zero.

    es. 0x
    2y3 = 0     es. 0x0y0 = 0


GUARDA LA VIDEOGUIDA:

{qtube vid:=YACesBFZ5rc}
{qtube vid:=8I7zQQ6TBOs}

  • ESERCIZIARIO MASSEREDefiniamo un NUMERO qualsiasi come   n
  • Il DOPPIO è 2 x n, quindi lo scriveremo come 2n, mentre la META’ sarà n/2
  • Di conseguenza il PRECEDENTE DI UN NUMERO risulta essere n – 1 mentre il SUCCESSIVO sarà n + 1

QUALCHE SEMPLICE ESERCIZIO:

1. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione:  Il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale al triplo del numero stesso diminuito di 10.

Risoluzione: 2X – 5 = 3X - 10     (Traduzione)
2X – 3X = -10 + 5                        (Regola del trasporto)
-X = -5                                        (Conti)
X=5                                            (Regola del cambio segno)

Verifica: 2X – 5 = 3X - 10          (Riscrivo l’equazione data)
(2 * 5) – 5 = (3*5) -10                (Sostituisco la X con il valore trovato)
10 – 5 = 15 – 5                            (Conti)
5 = 5                                          (Equazione verificata Risatona)

2. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione:  Il precedente del triplo di un numero è uguale al successivo del doppio del numero stesso

Risoluzione: 3X + 1 = 2X - 1    (Traduzione)
3X – 2X = -1 -1                       (Regola del trasporto)
X = -2                                    (Conti)

Verifica: 3X + 1 = 2X - 1       (Riscrivo l’equazione data)
3 (-2) + 1 = 2 (-2) -1               (Sostituisco la X con il valore trovato)
-6 + 1 = -4 -1                          (Conti)
- 5 =-  5                                 (Equazione verificata Risatona)

NUMERI PARI E NUMERI DISPARI:

  • Un numero PARI lo si definisce come 2n (in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 2 risulterà essere PARI)
  • Un numero DISPARI lo si definisce come 2n +1 (in quanto qualsiasi numero successivo ad un pari  risulterà essere DISPARI)

3. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione: la somma di tre numeri pari consegutivi è 12

Risoluzione: (2N) + (2N+2) + (2N + 4) = 12                     (Traduzione)
6N = 12 -4 -2                                                                 (Conti + Regola del trasporto)
N =1                                                                               (Conti + 2° Principio di equivalenza)

Quindi i tre numero sono 2N = 2*1= 2                   2N+2 = 4                             2N+4=6

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