Un POLINOMIO e' un insieme di piu' monomi (dal greco più termini).
Vengono classificati per il numero di termini irriducibili (cioè monomi non simili)

• 4a⁴+2b e' un binomio
• a+4 e' un binomio
• 3a⁶+4b+c e' un trinomio
• 3a+2b+5a e' un binomio perche'3a+5a=8a e i termini diventano 2
• 2a⁴+8b+9a - 6 e' un quadrinomio

Oltre 4 termini piuttosto che parlare di quinquinomio, esanomio,... si preferisce dire polinomio di 5 termini, di 6 termini,ecc ecc

GRADO DEL POLINOMIO: il grado di un polinomio e' uguale al grado del suo monomio di grado piu' alto

es. 2a³ + 3a³b⁴ - 4f²g⁴h⁴ - 2xz³w

2a³ ha grado 3
3a³b⁴ ha grado 7
- 4f²g⁴h⁴ ha grado 10
- 2xz³w  ha grado 5

Quindi il Polinomio ha grado 10 in quanto è il maggiore tra i monomi che lo compongono.

POLINOMIO ORDINATO secondo una lettera: è un polinomio nel quale compaiono i monomi in ordine di grado.

es. 3b + 2b² - 4b⁴c + b⁵de è un POLINOMIO ordinato rispetto la lettera b.

POLINOMIO COMPLETO: è un polinomio che e' ordinato e in cui vi siano tutti i termini tra il grado maggiore e 0.

es. 2 + 3b + 2b² - 4b³ + b4 è un POLINOMIO completo

es. 3b + 2b² - 4b³ + b4 NON è un POLINOMIO completo in quanto manca il termine di grado 0.

Cubo del binomio: e' uguale al cubo del primo monomio piu'il triplo del prodotto del quadrato del primo per il secondo, piu' il triplo del prodotto del primo per il quadrato del secondo,piu' il cubo del secondo

(a+b)³=(a+b)·(a+b)·(a+b)=
ora so che (a+b)·(a+b)=a²+2ab+b² quindi dovro' fare
=(a²+2ab+b²)·(a+b)= a³ +a² b+2a² b+2ab² +ab² +b³= a³ +3a² b+3ab² +b³

Quindi leggendo il primo e l'ultimo passaggio abbiamo la regola:

(a+b)³ =a³ + 3a² b + 3ab² + b³

GUARDA LA VIDEOGUIDA:

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Il monomio è il prodotto  di quanti si vogliano fattori numerici e letterali.
Attenzione: gli esponenti dei fattori letterali devono appartenere a N {0, 1, 2, 3, ...}.

Forma normale: ogni monomio può essere scritto come prodotto di una solo fattore numerico e di fattori letterali di basi diverse.

• (-2)(a)(-5)(b²) = (-2)(-5)(a)(b²) = +10ab²
• 4(b)(7) = 4(7)(b) = 28b
• (2/5)(a²)(-b²)(1/3)(b) = (2/5)(-1)(1/3)(a²)(b²)(b) = -(2/15)a²b³

Il monomio è composto da: il fattore numerico con il proprio segno (coefficiente) e il prodotto dei rimanenti fattori (parte letterale)

CONVENZIONI:

• se il coefficiente è +1 si omette e si scrive solo la parte letterale (Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0)
  
  es. +1x²y = x²y        es. +1x⁰y⁰ = +1
  
  
• se il coefficiente è -1 si scrive solo la parte letterale preceduta dal segno meno (Attenzione: lo si scriverà se la parte letterale manca o se ha esponente 0)
  
  es. -1a ²b² = -a²b² es. -1a⁰b⁰ = -1
  
  
• se il coefficiente è 0 il valore del monomio è zero.
  
  es. 0x ²y³ = 0     es. 0x⁰y⁰ = 0

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• Definiamo un NUMERO qualsiasi come   n
• Il DOPPIO è 2 x n, quindi lo scriveremo come 2n, mentre la META’ sarà n/2
• Di conseguenza il PRECEDENTE DI UN NUMERO risulta essere n – 1 mentre il SUCCESSIVO sarà n + 1

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QUALCHE SEMPLICE ESERCIZIO:

1. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione:  Il doppio di un numero diminuito di 5 è uguale al triplo del numero stesso diminuito di 10.

Risoluzione: 2X – 5 = 3X - 10     (Traduzione)
2X – 3X = -10 + 5                        (Regola del trasporto)
-X = -5                                        (Conti)
X=5                                            (Regola del cambio segno)

Verifica: 2X – 5 = 3X - 10          (Riscrivo l’equazione data)
(2 * 5) – 5 = (3*5) -10                (Sostituisco la X con il valore trovato)
10 – 5 = 15 – 5                            (Conti)
5 = 5                                          (Equazione verificata )

2. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione:  Il precedente del triplo di un numero è uguale al successivo del doppio del numero stesso

Risoluzione: 3X + 1 = 2X - 1    (Traduzione)
3X – 2X = -1 -1                       (Regola del trasporto)
X = -2                                    (Conti)

Verifica: 3X + 1 = 2X - 1       (Riscrivo l’equazione data)
3 (-2) + 1 = 2 (-2) -1               (Sostituisco la X con il valore trovato)
-6 + 1 = -4 -1                          (Conti)
- 5 =-  5                                 (Equazione verificata )

NUMERI PARI E NUMERI DISPARI:

• Un numero PARI lo si definisce come 2n (in quanto qualsiasi numero moltiplicato per 2 risulterà essere PARI)
• Un numero DISPARI lo si definisce come 2n +1 (in quanto qualsiasi numero successivo ad un pari  risulterà essere DISPARI)

3. Tradurre e risolvere algebricamente la seguente proposizione: la somma di tre numeri pari consegutivi è 12

Risoluzione: (2N) + (2N+2) + (2N + 4) = 12                     (Traduzione)
6N = 12 -4 -2                                                                 (Conti + Regola del trasporto)
N =1                                                                               (Conti + 2° Principio di equivalenza)

Quindi i tre numero sono 2N = 2*1= 2                   2N+2 = 4                             2N+4=6